Digérer les mathématiques
Digérer les Mathématiques

• Souvenirs scolaires

     Au cours de nos années universitaires, nous avons pu prendre conscience de la vive animosité de nombreux étudiants en biologie envers les mathématiques.
     Il semblait s’agir d’une sorte de ras-le-bol, celui-ci pouvant s’expliquer par différents phénomènes liés :
– la déception de devoir encore fournir un effort en maths quand on a choisi des études en biologie,
– le souvenir désagréable d’années à subir les maths comme une condition à la poursuite des études,
– la possibilité d’extérioriser enfin cette antipathie, sans se saborder totalement.
     Finalement, si cette matière est parfois rejetée par certains étudiants, ce n’est peut-être tant pour son contenu que pour le sentiment préconçu qui est lié à son nom. Il y aurait là une injustice, car l’expérience que l’on peut avoir des maths au lycée reste beaucoup trop fragmentaire pour justifier une opinion arrêtée sur la discipline.

     Les « mathématiques pour biologistes » post-baccalauréat ont bien peu de rapport avec les « mathématiques pour matheux » enseignées jusque là. Elles sont presque toujours concrètes, et clairement justifiées par leur utilité, leur applicabilité. En ce sens, chacun devrait percevoir qu’il ne s’agit plus d’exercices scolaires, mais de l’acquisition d’un outil de travail, accessoire il est vrai mais mois périssable que toutes les connaissances livresques en biologie. Les DUTiens auront toujours besoin d’une certaine aisance mathématique, ne serait-ce que pour justifier le titre de techniciens « supérieurs » – on ne peut par exemple se permettre de buter sur un calcul de dilutions ou montrer une franche incompétence en statistiques.
     En conclure que les maths appliquées constituent un mal nécessaire serait rester encore trop terre-à-terre. Après des années d’études abstraites, le changement d’optique pourrait être l’occasion d’une réconciliation avec la discipline mathématique. Les formules les plus compliquées correspondent enfin à quelque chose de tangible, de concret, pourvu d’une signification intuitive pour l’esprit. Et si l’on découvre les statistiques en abandonnant le calcul matriciel, on ne fait pas que gagner un outil immédiatement utilisable, on cesse de faire n’importe quoi simplement « parce que c’est au programme ».
     Dernier point à noter, les maths appliquées créent une intéressante relation immatérielle entre notre pensée et les objets. Employer avec succès les dérivées de fonctions numériques pour optimiser la forme d’une boîte de conserve, par exemple, peut être perçu comme quelque chose de « chouette », en soi, même si l’on ne cherche pas à comprendre un cours ou à gagner de l’argent sur un emballage. Cette « mathématisation » peut nous inviter au respect contemplatif des choses, ou bien nous procurer une certaine émotion créative, comme le bricolage et les arts plastiques : on anoblit pareillement un matériau d’apparence inerte et vile…

     Après avoir explicité les divers intérêts que l’on devrait trouver aux maths appliquées, il nous faut tout de même revenir sur notre opinion à l’égard des maths abstraites.
     Tout d’abord, rappelons que beaucoup des gens dégoûtés des maths scolaires raffolent des jeux de nombre (« le compte est bon », etc.) ou de logique (« master mind », …). Il semblerait y avoir là une aberration et un gâchis de vocations : prendre plaisir à faire fonctionner ses neurones dans le vide devrait conduire à l’amour des maths abstraites.
     Le domaine mal aimé de la discipline se limiterait donc à ce que l’on peut appeler les maths théoriques. Au lycée, nous avons pour la plupart trouvé difficile à avaler ce formalisme complexe et apparemment stérile : « l’image d’un anneau commutatif par un endomorphisme bijectif est aussi un anneau commutatif », beuh… Les « forts en maths » eux-mêmes y trouvaient-ils réellement un intérêt au delà de la satisfaction de réussir (victoire sur les problèmes posés, et valorisation personnelle par les bonnes notes) ? Pour les autres, le sentiment d’être jugé sur des sornettes peut avoir laissé un goût amer. Mais la sagesse venant avec l’âge et la sécurité des diplômes acquis, les anciens doivent généralement avoir dépassé ce sentiment de rancune. Les mathématiques sont quand même autre chose qu’un moyen de torture, symbolisé par le traumatisant stylo rouge d’un correcteur…

• Eléments de merveilleux et de mystère

     Si l’on regarde avec sérénité – c’est à dire de très loin… – l’édifice que constitue tout le savoir accumulé en mathématiques théoriques, on peut ressentir un sentiment de merveilleux. Toute cette cohérence sans l’ombre d’un doute donne une image de perfection, d’harmonie – les penseurs classiques y voyaient même un modèle de Beauté. On peut aussi être frappé par l’impressionnante solidité de l’ouvrage : il est rassurant de prendre conscience qu’il existe au moins un domaine de pensée où l’on semble atteindre des certitudes définitives.

     Mais cette force même que présentent les mathématiques (et la logique qui en est maintenant une branche) constitue un mystère. D’où vient l’unicité de ce système qui s’impose à tout être doué de raison ?
     En fait les mathématiques sont surtout pures parce qu’elles sont vides : il s’agit d’une construction à partir d’axiomes et de lois, la règle du jeu étant la même pour tous. Le problème que nous percevons intuitivement ne concerne donc pas tant les développements mathématiques que leurs bases. Pourquoi par exemple ne peut-on pas abandonner la logique sans sombrer dans la folie et le néant ?
     Les philosophes contemporains répondent que les bases mathématiques constituent une traduction épurée de notre intelligence. Il s’agit donc de processus mentaux « automatiques », dont on ne peut se défaire volontairement.

     Cette définition humaine est loin de clore le débat : au delà de nous, les lois mathématiques ne sont-elles pas aussi des vérités absolues ? La notion de « découverte » en mathématiques est également troublante, car ce qui est démontré aujourd’hui pour la première fois devait déjà être démontrable hier. A certains, cela suggère l’idée d’une Vérité mathématique « écrite quelque part », indépendamment du fait que l’on en prenne connaissance un jour. Le dénouement du roman « Contact » de Carl Sagan illustre ainsi l’hypothèse qu’un être mathématique comme pi puisse dépasser totalement le cadre de l’histoire humaine et même du monde matériel. Des croyants illustreraient ce point de vue en disant que les mathématiques sont d’origine divine (ou que notre intelligence est à l’image de Dieu).
     Mais cette discussion sur le caractère universel des mathématiques peut rappeler un débat concernant le Réel. Et de la même façon qu’il est possible de considérer la réalité comme totalement engendrée par la pensée humaine, on peut soutenir qu’un problème mathématique n’est rien d’autre qu’un problème de langage, artificiel et sans fondement. Le nombre pi viendrait par exemple seulement de nos notions de cercle et de dénombrement. Ce point de vue se heurte malgré tout au mystère de la découverte mathématique : pi était-il contenu dans le premier cerveau d’Homo sapiens, ou sa réalité potentielle a-t-elle émergé avec la notion abstraite de forme circulaire ?

     Il existe une autre voie de réflexion, qui ne s’attache pas à situer le domaine de validité des mathématiques, mais à mettre en doute cette validité.
     Il faut signaler ici que les modélisations mathématiques du Réel (lois scientifiques) sont contestables par l’expérience, mais ce point n’a rien à voir avec notre sujet.
     Le problème de la certitude mathématique vient du fait que les axiomes de base ne sont pas des nécessités justifiables – Kurt Gödel a même « démontré qu’ils sont indémontrables »… La logique est ainsi purement arbitraire, même si elle est ancrée en nous et que sa rigueur procure un sentiment d’incontestabilité.
     Si l’on accepte malgré tout la logique comme point de départ, celle-ci reste-t-elle au moins cohérente, sans s’auto-invalider ? Personnellement, nous percevons une faille dans la soumission de la logique à notre pensée et au temps. Tout raisonnement logique procède pas à pas, parce que notre pensée n’est jamais instantanément cohérente, et aussi parce que la démarche déductive est ainsi conçue (« Puisque… et… alors… »). Mais si l’on remet en cause la validité de nos souvenirs immédiats, la crédibilité de cet itinéraire démonstratif s’écroule. Au fur et à mesure que l’on avance dans le raisonnement, on perd en effet les acquis nécessaires à la synthèse, qui ont glissé entre-temps dans un passé suspect. Ce doute n’est pas une fantaisie, il provient seulement d’une rigueur légitime : il n’existe pas de critère incontestable pour reconnaître dans nos souvenirs le réel de l’imaginaire.
     Une démonstration parfaite, comme un fait manifeste, n’est donc pas obligatoirement une vérité. De telles réflexions allégeraient notre asservissement à la logique, en droit si ce n’est en fait. On rejoint là un thème de notre précédent article, ce scepticisme libérateur pouvant par ailleurs rappeler la thèse humaniste de Paul Feyerabend (« Contre la méthode, Esquisse d’une théorie anarchiste de la connaissance »). Mais un rapprochement apparent n’empêche pas les divergences, et on peut trouver dangereux le relativisme de Feyerabend (« tout est bon »), surtout si celui-ci mène, au-delà de la liberté de pensée, à une liberté d’action. La notion d’Erreur peut garder en pratique une signification morale, à défaut d’autre chose.

     Quelles que soient nos opinions sur le sujet, les mathématiques constituent en tout cas un passionnant mystère philosophique, pour peu qu’on se détache du détail des équations.
     Indépendamment de cela, rappelons qu’on peut trouver dans le formalisme-même d’autres types de satisfactions, purement ludiques ou liées à une certaine relation avec le réel – voir illustrations en fin d’article.
     Une fois détachées du traumatisme scolaire, les maths peuvent donc se révéler un véritable centre d’intérêt… ou même une activité de loisir. Blaise Pascal avait beau condamner l’inoffensif « divertissement » sous toutes ses formes, l’essentiel est peut-être d’éviter le mal de vivre et l’asile. Dans cette optique, les mathématiques pourraient apparaître, à certains, plus exaltantes qu’une loterie télévisée ou qu’un match de football…

         Christophe Meunier (ABB 84)

• Illustration 1 : « Mathématiser » un ustensile stupide

     Pour les étudiants qui maugréent que les Maths, c’est une sacrée m…, nous proposons un divertissement mathématique qui pourrait être appliqué (par dérision) aux rouleaux de papier-toilette, ou par utilité pratique au papier pour enregistrement de laboratoire.
     Il s’agit simplement de savoir quelle longueur de ruban reste sur un rouleau de scotch entamé d’après son diamètre.

     Pour préciser l’énoncé : on cherche la longueur restante (Lr) correspondant au diamètre moyen mesuré (Dr) – connaissant le diamètre du rouleau terminé c’est-à-dire du support cartonné (Do), le diamètre du rouleau non entamé (Dmax), et la longueur totale signalée par le fabricant (Lmax).
     Reste à énoncer l’intégrale à résoudre, à discuter des transitions au changement de tour, et enfin à éliminer les inconnues indésirables.
     Au bout du chemin, on sortira une formule magique, du type : Lr = Lmax × (Dr²-Do²)/(Dmax²-Do²), qui est l'équation d’une parabole.
     N’est-il pas merveilleux qu’un vulgaire rouleau de scotch cache pareille richesse ?

• Illustration 2 : Apprivoiser une horreur artificielle

     L’icosaèdre est un fascinant monstre mathématique. Certains philosophes antiques croyaient voir dans ce polyèdre régulier l’une des structures élémentaires de l’Univers, au même titre que la sphère. Mais au delà de la parfaite régularité stéréométrique, il nous est difficile de ne pas percevoir comme un regard diabolique – surtout en soulignant 2 des 20 faces comme nous l’avons fait ci-dessous. La personnification est en partie justifiée : l’icosaèdre est représenté dans la Nature par quelques affreux virus anthropophages.

     Question : comment faire avaler cette sale bestiole à un ordinateur pour lui faire baisser le menton et tourner la tête à volonté ? Et pour cela : quelles sont les formules qui permettent de définir la position (en représentation plane) des 12 sommets en fonction des perspectives angulaires ?
     Le problème peut être abordé pour le plaisir de tripatouiller les équations trigonométriques, mais si l’on se sent vraiment hypnotisé par le regard démoniaque de l’abominable chose, il devient quasi vital de l’obliger à détourner les yeux, et l’empoignade mathématique relèvera alors du combat singulier. Fantastique, non ?

     Question subsidiaire : le rapport entre Distance séparant deux sommets opposés et Longueur d’arête était-il déjà, chez les virus icosaédriques, approximativement égal à 2 sin (2 pi/5 radians) avant qu’un être humain ait découvert pi et sinus ?
         C.M.

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    Article paru en 1989 dans le magazine BioTop des anciens élèves de Biologie Appliquée à l’IUT de Montpellier
écrit par un élève de Alain Cerf, professeur de Maths en 1e année 1982-83,
élève anormal, diplômé DUT 1984 (après un Bac C mention Très Bien, avec 18/20 en Maths et 17/20 en Philosophie, sous traitement anti-dépresseur depuis 1979, réformé du service militaire pour troubles psychiatriques), auteur du livre « Contre la Réalité » en 1993, et de multiples textes depuis.