Recadrage SCEPTIQUE démolissant/reconstruisant le PARADOXE DE L’APOCALYPSE
par Christophe Meunier, 23/03/2009, mis à jour 24/03/2009
Dans son très intéressant ouvrage « Au pays des paradoxes », Jean-Paul Delahaye signale un problème qui a heurté bien des lecteurs quand il a été publié : selon le calcul probabiliste classique, employant le théorème de Bayes (sur les probabilités conditionnelles), l’espèce humaine aurait plus de 50% de chances de s’éteindre avant l’an 2150. Ce chapitre fait référence à un article plus ancien dans « Pour la Science », tenant le même raisonnement avec l’an 2050 et 99,99% de probabilité, en ayant soulevé des tonnerres de protestations outrées.
J’explique ma lecture personnelle, hors norme, arbitrairement classée psychotique mais logiquement saine je pense, voire supérieure aux verbiages alentours.
1- On peut me jeter à la face un théorème, je n’y crois pas tant que je n’ai pas suivi sa démonstration, pas à pas.
2- Etant sceptique (variante egocentrique), je n’exclue nullement que l’espèce humaine s’éteigne en 2150, ou 2050, ou dans deux secondes, mais cela ne relève pas selon moi des dangers matériels déterministes (chimiques ou nucléaires ou médicaux ou astronomiques) ou immatériels divins (Déluge n°2), mais d’un simple réveil possible, en me réveillant fourmi ou onde immatérielle, le présent monde apparent n’ayant été qu’un rêve.
J’ai appris à l’université que
p(A sachant I)=p(A et I)/p(I) et p(I)=p(I et A)+p(I et non A)
Il en découle le théorème bayésien
p(A sachant I)=p(I sachant A)*p(A)/[p(I sachant A)*p(A)+p(I sachant non A)*p(non A)].
Je l’avais « compris » à l’époque, d’après mes souvenirs présents, mais s’il peut décider de l’extinction de ce monde, je vais le reprendre, le réinventer avec un doute décuplé.
La leçon sur les probabilités partait je crois d’un ensemble de N cas, une partie étant des cas A+ (le reste étant des cas A-), une partie étant des cas I+ (le reste étant des cas I-). Par exemple, il s’agit d’un ensemble de N boules, pouvant avoir le statut A+ (noire) et/ou le statut I+ (lisse). Dans le cas général, cela fait des ensembles comme ceci :
Oui, il est clair (en notant nb = nombre de cas ou nombre de boules) que
nb(A+ et I+)=nb(A+)*taux(I+ parmi A+)=nb(I+)*taux(A+ parmi I+)
et nb(I+)=nb(I+ et A+)+nb(I+ et A-)
On en déduit [si nb(I+) n’est pas nul]:
taux(A+ parmi I+)=taux(I+ parmi A+)*nb(A+)/nb(I+) donc :
taux(A+ parmi I+)=taux(I+ parmi A+)*nb(A+)/[ nb(I+ et A+)+nb(I+ et A-)] donc :
taux(A+ parmi I+)=taux(I+ parmi A+)*nb(A+)/[ nb(A+)*taux(I+ parmi A+)+ nb(A-)*taux(I+ parmi A-)]
Il paraît que si on divise tout par N, les taux et nombres deviennent des probabilités, mais je me méfie des malentendus inhérents à ce mot, et je garde « sans probabilité » ma formulation de logique bayésienne. La formule vue à l’école était donc :
p(A+ sachant I+)=p(I+ sachant A+)*p(A+)/[ p(A+)*p(I+ sachant A+)+ p(A-)*p(I+ sachant A-)]
* Application à l’Apocalypse, par Jean-Paul Delahaye version 2003 (tel que je le lis) :
A+ : le monde finira en 2050 (ou dans 2 secondes), éteignant l’espèce humaine et le moi (ou « dont le moi »). A priori, dans l’incertitude totale, la probabilité de cette hypothèse est estimée à 50%.
I+ : cas où celui qui observe (moi) est dans le monde présent (ou passé).
Contexte estimé : jusqu’à présent, il y a eu cent milliards d’humains, et si ça continuait il y aurait cent mille milliards d’humains cumulés.
Ce que JPD fait dire au théorème de Bayes, c’est que : même si la probabilité de A+ est a priori de 50%, la probabilité de A+ sachant que je suis I+ monte à 99,9% : proba (A+ sachant I+)= 1*1/2/(1*1/2 + 1/1000*1/2)=1/1,001.
Pour cela, il a été posé p(I+ sachant A+)=1, p(A+)=p(A-)=1/2, p(I+ sachant A-)=1/1000. Le dernier point signifie qu’il a été virtuellement envisagé autant de cas que d’humains imaginables sous hypothèse A- : cent mille milliards, et il y a cent milliards de ces cas qui correspondent à I+, soit 1/1000. Revenons à la formule non simplifiée et cela devient mystérieux :
N = cent mille milliards de cas virtuels, nb(I+) = cent milliards, nb(I-) = 99 9000 milliards, mais par hypothèse nb(A+)=nb(A-) =N/2= 500 milliards, et là je ne comprends pas du tout. Si A+ est valide, 400 de ces 500 milliards sont inexistants. Et A positif ou négatif n’est pas une propriété des cas dénombrables par ailleurs, mais un des éléments déterminant combien il y a de cas totaux. Cela semble un cas d’auto-référence, absurde – tout comme il est absurde de chercher si est vraie ou fausse la proposition « cette phrase est fausse » (si elle est vraie, c’est un mensonge, donc elle est fausse, contradiction ; si elle est fausse, c’est une vérité, donc elle est fausse, contradiction). On peut aussi dire que l’existence ne peut pas être prise comme propriété quelconque en logique, c’est le paradoxe fautif des licornes existantes (qui par définition « existent ») – avant de lire le livre de JPD, je l’avais dénoncé dans le Discours de la Méthode « cartésien » (prétendant démontrer l’existence de Dieu mais aboutissant à ce que le schtroumpf-qui-existe existe autant que Dieu).
Revenons au schéma : si A+ détermine un nombre N différent de A-, on n’a pas l’évidence nb(A+)+nb(A-)=N. Prenons la situation différemment : posons au départ N = 1 million de milliards. Si A- est valide, chaque humain est multiplié dix fois, si A+ est valide, chaque humain est multiplié dix mille fois. Mais quand il va falloir dire si ces cas appartiennent au sous-ensemble A+ ou A-, on sera coincé car il s’agit de cas différents. Donc même avec N très grand, arbitraire, on n’a pas nb(A+)+nb(A-)=N si le contenu de A détermine la liste des cas. Les préambules du théorème de Bayes sont donc ici invalides, donc celui-ci ne s’applique pas.
La solution du paradoxe que trouve JPD est différente, l’anamorphose probabiliste, disant que mon point de vue est biaisé et qu’en prenant en compte le point de vue des cent fois plus nombreux humains venant après moi, l’estimation corrigée sera juste. Globalement p(A+)=1/1001 et p(A-) =1000/1001, et il dit sans explication qu’appliquer alors le théorème de Bayes fait disparaître le paradoxe. Voyons voir : s’il suppose encore p(I+ sachant A+)=1, p(I+ sachant A-) =1/1000, cela donne p(A+ sachant I+)= 1*1/1001/(1*1/1001+1/1000*1000/1001)=1/2. Cela me paraît invalide pour 3 raisons :
- De cent milliards à cent mille milliards, le rapport n’est pas de 1 à 1001 mais 1 à 1000. Il aurait donc fallu dire : p(A+ sachant I+)= 1*1/1000/(1*1/1000+1/1000*999/1000)=1/1,999 – valeur que l’on aurait eu bien du mal à expliquer.
- Je ne vois aucune raison de penser que sur l’ensemble total des cas, la probabilité de A+ est égale à la proportion de I+, même si A+ implique I+ (la plupart des I+ croient A- comme l'ont confirmé les hurlements massifs à la publication de l'article). Il faudrait justifier cette égalité prétendue de manière bien plus convaincante.
- Comme je le disais, le théorème de Bayes me paraît nullement démontré si N n’est pas défini indépendamment de A, donc si N n’est pas forcément égal à nb(A+)+nb(A-).
Mais puisque la version 2008 est différente (corrigée ?), examinons celle-ci.
* Application à l’Apocalypse, par Jean-Paul Delahaye version 2008 (tel que je le lis) :
A+ : le monde finira en 2150 (ou dans 2 secondes), éteignant l’espèce humaine et le moi (ou « dont le « moi »). Cela paraît très peu plausible a priori, mais en pensant au danger relatif de pollution et cataclysme astronomique, la probabilité de cette hypothèse est estimée à 1%.
I+ : cas où celui qui observe (moi) est dans le monde présent.
Contexte estimé : avec l’explosion démographique, actuellement vivent 10% des humains ayant existé jusqu’ici, et si ça continuait vivrait actuellement 0,1% des humains totaux.
Ce qu’il fait dire au théorème de Bayes, c’est que : même si la probabilité de A+ est a priori de 1%, la probabilité de A+ sachant que je suis I+ monte à 50,25% : proba (A+ sachant I+)= 1%*10% /(1%*10% + 0,1%*99%).
Pour cela, il a été posé p(I+ sachant A+)=1%, p(A+)=1%, p(A-)=99%, p(I+ sachant A-)=0,1%.
Passant sous silence N, cela évite de percevoir que l’on n’a pas d’expression claire de ce que l’on entend par nb(A+)+nb(A-)=N, pourtant obligatoire pour aboutir au théorème de Bayes. Je ne vois donc nulle raison de croire ce théorème dans cette situation.
La solution du paradoxe que trouve Jean-Luc Delahaye est différente, l’anamorphose probabiliste, seulement mentionnée en renvoyant à l’article de 2003, de manière non convaincante puisque non expliquée ici. Essayons quand même: il attribuerait en fonction des effectifs imaginés : p(A+)=0,1%/10%=1%, p(A-)=99%, p(I+ sachant A+)=1%, p(I+ sachant A-)=0,1%, d'où p(A+ sachant I+)=1%*1%/(1%*1%+99%*0,1%)=9,2%. Je ne vois pas disparaître l'anomalie qui fait rehausser bien au-dessus du 1% a priori. [Note : avec un autre chiffre d'Humanité future "estimée", cela semble peu changer les valeurs: si l'Humanité sous A- atteint cent fois plus, p(A+)=0,01%, p(A-)=99,99%, p(I+ sachant A-)=0,001%, d'où p(A+ sachant I+)=1%*0,01%/(1%*0,01%+99,99%*0,001%)=9,1%]. Même si je me trompe peut-être dans ma projection de sa prétendue logique, je ne suis pas convaincu, il aurait fallu expliquer pas à pas pour convaincre. Pour cela, il fallait redémontrer le théorême de Bayes avec tout autre chose que des effectifs de boules, peut-être avec des degrés de couleurs ou couleurs complémentaires, mais il faudrait expliquer comment s'insère alors le cas individuel ponctuel à surface nulle. Si cela est fait un jour, je réexaminerai la discussion**.
2- Lecture non réaliste
L’énoncé du problème comme la solution anamorphique relèvent de parti-pris philosophiques n’ayant absolument rien de vérités mathématiques :
- je ne suis qu’un observateur parmi des milliards d’observateurs distincts (passés avant que j’existe et peut-être futurs après mon extinction)
- ce qu’on m’a raconté du passé n’est pas un film fantaisie
- l’observateur de la situation est un humain (ni Dieu ni ange ni extra-terrestre : principe anthropique)
- le futur est calculable, sans dépendre entièrement du bon vouloir (ou délire involontaire) du Créateur éventuel de ce monde
Si je rêve, tout cela peut être faux (et l'empathie et la morale existent aussi dans mes rêves, les accusations et menaces interdisant de douter sont invalides). La seule certitude est que « je » suis en position d'observateur (non le personnage humain Christophe Meunier mais la pensée qui croit se situer en lui), et que les cas où il y aurait observation sans moi sont inexistants à ma connaissance, simples objets de mon imagination délirante, via éventuellement personnages de professeurs ou souvenirs de crédibilité inconnue. La probabilité que je sois observateur n’oscille donc pas entre 10% et 0,1%, mais vaut 100% (ni plus ni moins que JPD disait que si le monde s’éteint dans 2 secondes, la probabilité que je sois un des 100 milliards de premiers humains vaut 100%). Si un des autres personnages humains est dans une position analogue à la mienne, il devrait aboutir à la même conclusion - sinon, qu'il m'explique sa "logique", sachant que j'ai jusqu'ici cassé par la logique pure toutes les objections reçues.
Si la probabilité de I+ est de 100%, N=nb(I+), alors p(A+ sachant I+)=p(A+). Donc prendre en compte ma position présente avant les millénaires à venir n’a aucune influence sur la probabilité hypothétique de fin de ce monde à tel instant ou telle année. Cette probabilité de fin du monde est totalement inconnue, déterminable seulement avec des généralisations et dogmes de crédibilité non quantifiable (relevant des sciences expérimentales en aval de l’axiome réaliste bannissant arbitrairement l’hypothèse du rêve, cela ne vient aucunement des mathématiques pures).
Ceci dit, ne sachant rien, on en revient à l’énoncé de connaissance nulle : la probabilité d’extinction du monde dans deux secondes semble énonçable comme ½. En fait, ce chiffrage n'est pas satisfaisant car je pourrais être éternel (hypothèse bouddhiste), et il y aurait une infinité de questions instantanées en suspens, la probabilié de chaque hypothèse ponctuelle tendant vers zéro. Autant dire "j'en sais rien" que de prétendre énoncer des cas équiprobables. Si l'extinction de ce monde se produit, cela aboutirait à n’importe quoi : soit un monde sans observateur (extinction universelle), soit un monde avec un autre moi et un autre passé décrit par les « autorités » prétendant détenir la vérité (et éventuellement sans avoir jamais eu d’humains), etc. L’affirmation du contraire repose sur un autre paradoxe : celui de l’induction, qui prétend connaître le futur au vu du passé (auquel je croirais), erreur mathématique oubliant que cela se situe en aval de deux axiomes indémontrables :
– passé apparent et présent sont crédibles, non oniriques en instance d’évanouissement – dogme cassé par l’expérience du rêve, ou plus exactement sa formulation parentale (sans critère crédible) pour évacuer les contradictions de l’expérience totale (qui cassaient les généralisations commandées),
– passé et présent sont un échantillon aléatoire représentatif de l’intemporel – dogme cassé par la logique pure pour les logiciens demandant la preuve, et pour les réalistes : par l’évolution des sensibilités bactériennes aux antibiotiques.
Conclusion
1/ "J'ai sauvé le monde"...
Mathématiquement et logiquement, reprendre pas à pas la démonstration du Théorème de Bayes, en songeant au paradoxe de l'Apocalypse, conduit à prendre conscience que les préambules de ce théorème impliquent qu'il ne concerne que des propriétés (effectives ou potentielles) ne déterminant pas des nombres totaux (de cas ou objets) comptés. La pseudo-démonstration mathématique de "l'Apocalypse probablement imminente" était invalide (de même que sa réfutation anamorphique), utilisant un théorème parachuté dans une situation où il ne m'était pas démontré.
2/ Je ne sauve pas du tout le monde...
Philosophiquement, peut-être que l'Apocalypse de ce monde est imminente, et la probabilité de cela parait totalement inconnue (non "très faible"), sauf arbitraires illogiques (en logique pure, indépendamment des tentations psychologiques d'affirmer l'invérifiable futur, scientifiquement*** par exemple). En généralisant illogiquement moi aussi mais à l'inverse, d'après mes souvenirs étiquetés rêves/réveils, je serais tenté de pronostiquer que ce monde s'éteindra la nuit prochaine, et débouchera sur n'importe quoi, peut-être vécu comme assez similaire au "passé" qui sera alors perçu.
** Réserve en seconde analyse
* Même si Bayes m’a été appris avec des effectifs de boules, je pourrais raisonner en termes relatifs de fréquence sans connaître l’effectif total :
f(x)=nb(x)/N
Dans ces conditions, le schéma initial donnait : f(A+I+)=f(A+)*taux(I+ parmi A+)=f(I+)*taux(A+ parmi I+) et f(I+)=f(I+A+)+f(I+A-), et il en découle f(A+ sachant I+)=taux(I+ parmi A+)*f(A+)/[ taux(I+ parmi A+)*f(A+)+ taux(I+ parmi A-)*f(A-)]
Ouf, revoilà Bayes introduit sans aucun effectif connu.
* Le fait que ma radicalisation de 2050 à « dans deux secondes » ait fait disparaître le cas possible A+I- implique que A+ est inclus dans I+, alors évidemment :
A+ occupe davantage de place relative dans ce I+ que dans le grand ensemble I+ collé à I-, et JPD dit en quelque sorte « regardons dans tout « I+ et I- » pour conclure sans surestimer le point de vue I+ par effet loupe, ce qui est presque une auto-négation du calcul effectué, qui disait : sachant que I+ est vrai, ne nous intéressons pas aux cas I-. Bref, je retombe sur le paradoxe pur et dur de l’Apocalypse et je ne crois pas la réfutation de JPD.
* Par contre, un point est très évident : c’est que l’on n’a nullement formulé p(A+) dans un contexte I-, mais exclusivement « sous I+ » (si je conteste ou approuve le chiffrage de A+, c’est que je suis là). Donc, il n’y a nulle hausse de 50% à 99,9% ou de 1% à 9,2% par la prise en compte de ma présence I+ : on ne parlait que du résultat final au départ, en prétendant parler d’autre chose. Là était l’erreur je crois.
*** Explication épistémologique
Je serai taxé de contresens (ou faute logique !) pour avoir dit que par principe, les généralisations scientifiques ne sont pas vérifiables, alors qu’elles se définissent au contraire comme vérifiables, par opposition aux affirmations religieuses ou autres dogmes. Je réponds par un dialogue imaginaire :
– Scientifique S : L’Apocalypse est prévue dans 8 à 13 milliards d’années, avec une probabilité de 100%, puisque le Soleil se dilatera en géante rouge, brûlant la planète Terre (et si un vaisseau spatial est lancé pour sauver quelques scientifiques et artistes d’élite, avec leurs familles, il se passera entre 1 et 843 ans avant qu’un suicidaire n’annihile ce précaire monde avec lui – avec 99,999% de probabilité).
– Logicien L : En 1924, les scientifiques comme vous nous affirmaient que le taux de staphylocoques résistants à la Penicilline serait de 0% en 2009, alors qu’il s’avère de 94%… Ils avaient parfaitement vérifié la validité de leurs lois en 1920, 1921, 1922, 1923, mais en fait ils ignoraient totalement le futur. Ils se gaussaient des religieux affirmant que Dieu ou le Diable pouvait enfreindre leurs lois, ils enfermaient les « schizophrènes » disant que le rêveur de ce monde peut rêver n’importe quoi, pourtant c’est eux qui avaient tort. Les affirmations et enseignements scientifiques ne sont pas vrais.
– S : Ils exprimaient le savoir certain compte tenu des connaissances de l’époque. La science est une démarche de correction infinie, se rapprochant du vrai à l’infini.
– L : ils affirmaient vrai ce qui est faux, c’était une erreur totale en termes logiques. La vérification présente ne garantie en rien ce que sera le futur. La généralité (qui couronnait de succès la loi généralisante prédictive) peut s’interrompre. Le refuser en parlant de connaissance est une faute : il s’agit de croyance. Le futur reste inconnu jusqu’à ce qu’il devienne présent.
– S : Non, la Science n’a pas attendu 2009 pour corriger son chiffrage pour les staphylocoques. Bon, le technicien qui a raconté, en 1931, avoir vu un staphylocoque résistant a été enfermé (il disait que notre congrès avait validé ses observations, pur délire psychotique). En 1944, un autre technicien a rapporté un cas de staphylocoque résistant, mais pas scientifiquement : ce pacifiste idéaliste avait détruit la bête, sans la conserver précieusement pour confirmation inter-laboratoire. Mais en 1972 a été validée la découverte de staphylocoque résistant : pleinement confirmé sur le terrain, et approuvé en congrès d’experts leaders d’opinion. Peu importe qu’il s’agisse du tout premier Staph résistant apparu sur Terre, ou du premier à être détecté (quelques précédents mutants étant morts tués par la concurrence), la Science a pris cela en compte, parfaitement.
– L : En 1975, vous chiffriez (avec 99,999% de confiance statistique) entre 0% et 3% le taux de staph qui seraient résistants à la Penicilline en 2009, or ce taux s’est avéré 94%.
– S : C’est lié à un pur artefact ! Nos modèles concernaient l’évolution naturelle, mais le milliardaire Smith a fait don à l’Humanité du brevet P43 en 1976, divisant par mille le prix de la Penicilline, ce qui a multiplié par un million la production, la prescription, la pression sélective. Et puis les atroces Brigades Blanches ont ensuite contaminé en 1997 des stades dans le monde entier avec « l’oiseau rare », des milliers de personnes, et des millions par dissémination…
– L : Vous ignoriez le futur, or vous prétendiez le connaître, avec vérifications unanimes pour « preuves ». Les participants au congrès de 1924, morts avant 1972, ont vécu dans une gloire usurpée, prétendant faussement à la vérité.
– S : Ils étaient parfaitement honnêtes dans leur démarche expérimentale, et validaient un modèle explicatif, prédictif (d’où le succès des béta-lactamines artificielles, moins toxiques), pas seulement une généralisation bête, descriptive de résultats bruts.
– L : Ils se trompaient quand même. Pour votre géante rouge, vous êtes dans la même situation.
– S : Non, toutes les étoiles comprises entre 0,2 et 4 masses solaires, je dis bien TOUTES, évoluent vers…
– L : Jusqu’à ce que vous en trouviez une contredisant cela.
– S : Pas une seule ! Et rien, je dis bien RIEN n’incite à penser que…
– L : Les religieux et solipsistes contestent votre idée que le Soleil est une étoile. Même en le nommant ainsi, il pourrait s’avérer la première étoile d’un nouveau genre, vous n’en savez rigoureusement rien.
– S : En termes de probabilités, il est prouvé que j’ai raison !
– L : Non, vous présupposez pour ce calcul que le Soleil est une étoile quelconque parmi les autres (et que vos chiffrages d’âge stellaire sont justes). Peut-être qu’il s’agit d’hypothèses erronées, alors peut-être dans cinquante ans, ou demain si Dieu existe (ou bien si… ici est un rêve), peut-être…
– S : Ce n’est pas un rêve ! Je vous le garantis !
– L : Si je vous rêvais, vous pourriez dire pareil. Je disais : peut-être que dans le futur, les naines rouges auront disparu du ciel, et…
– S : Vos délires relèvent de la psychiatrie ! Ou de la justice internationale : la Déclaration des Droits de l’Homme exige de reconnaître qu’autrui est doué de conscience ! Circulez, y'a rien à voir !
– L : Oui, vous avez une branche broyant les hérétiques, et vous êtes alliés aux politiciens dominants le monde présent, mais cela relève du dogme brut, non de l’intelligence et honnêteté intellectuelle. Vos fautes logiques relèvent de la stupidité (ou du mensonge, si vous n’êtes pas dupes).
