Comptabilité et mathématiques : consolider l’astuce pour les inversions
par Deuziaime Phrèr, 30/11/2019
1/ La question Ma sœur, qui a je crois eu un Bac de Comptabilité-Gestion alors que j’ai eu un Bac de Maths-Physique, m’a dit avoir récemment appris une recette utile : dans un nombre à multiples chiffres, si deux chiffres sont inversés, cela crée une différence dont la somme des chiffres (du premier coup ou en plusieurs opérations) fait 9. Donc en pratique, si on doute d’un chiffre, comparer au nombre attendu en faisant la différence puis somme des chiffres de cette différence, si cela fait 9, cela pourrait bien être une inversion de 2 chiffres, pas un manque de ligne ajoutée ou taxe oubliée ou comptée deux fois.
Elle me demandait si je pouvais, par amusement, trouver la preuve mathématique de cela.
(Et elle me citait la source Internet parlant de cette astuce, sans la démontrer : https://www.compta-online.com/erreur-saisie-erreur-dans-ordre-des-chiffres-t965 )
2/ Première approche : test (invalidation ou confirmation)
A priori, je n’y croyais pas. Enfin, j’avais déjà démontré il y a une quinzaine ou vingtaine d’années que la somme des chiffres d’un nombre est 3 ou 6 ou 9 si ce nombre est un multiple de 3, ce qui ressemblait un peu à ça, mais un truc spécifique à 9, pourquoi ? J’aurais dit plutôt non, mais à voir équations en main. Enfin, avant, le plus simple était de démontrer que c’est faux, sur un exemple. Pour cela, j’allais calculer cette somme de chiffres sur différences après inversion, pour les chiffres de 00 à 99 (0 à 99, l’écriture usuelle sous-entendant la dizaine zéro s’il n’y a ni centaine ni millier etc.). Pour cela, il suffisait de faire le calcul d’inversion et somme par tableur, avant de tirer la formule de 0 et 1 à… 99 :
Résultat : effectivement (surprise pour moi), la somme fait zéro chaque fois que les deux chiffres sont identiques (11 ; 22 ; etc. jusqu’à 99), 9 dans tous les autres cas (01 ; 02 ; etc. jusqu’à 98).
Aperçu partiel :
3/ Deuxième approche : démonstration théorique Sans vérification exhaustive ainsi, j’ai voulu faire la preuve joliment par A+B. Et c’est possible, toujours pour 00 à 99 :
• 1e étape
L’écriture AB (A et B entiers <10) signifie (10*A)+B
L’écriture BA signifie (10*B)+A
Donc D=AB-BA=(9*A)-(9*B)=9*(A-B)
Si A-B=0 alors D=0
Si A-B<>0 alors D multiple de 9
• 2e étape : montrer que 09 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; 63 ; 72 ; 81 ; 90 ; 99 ont leur somme de chiffres (ou somme de somme pour 99) = 9, ça se constate en faisant les 11 additions ou…
L’écriture CE (C et E entiers <10) multiple de 9 signifie (10*C)+E=9*K avec K entier et on veut démontrer que C+E=9
(10*C)+E=9K implique [(9*C)+C]+E=9K implique (9*C)+(C+E)=9*K implique K=C+[(C+E)/9]
K entier implique (C+E)/9 entier
Avec C et E entiers <10, cela ne laisse que les cas C+E=09 et 18, et ça donne bien 9 en somme finale puisque 0+9=1+8=9.
4/ Cas des chiffres avant ou après Ma première approche ne traitait que les chiffres 00 à 99, mais la question se pose aussi pour 102 ou 4971.
Toutefois, c’est généralisable à ces cas-là :
Exemple (avec chiffres inversés en 2e et 3e sur 4): D=mABn-mBAn=(AB*10)-(BA*10)=(AB-BA)*10
En addition des chiffres, cela fera exactement la même chose que (AB-BA)+zéro qui ne change rien ; et ce serait + zéro + zéro pareillement si on avait choisi 1e et 2e positions sur 4.
Etc. (on pourrait généraliser avec indice i comme position décimale, avec puissance de 10, et nombre de fois zéro ajouté)
5/ Cas des inversions de chiffres non consécutifs C’est pareil (après tâtonnement sur tableur confirmant que ça donne bien 9 si A et différent de B).
Exemple (avec chiffres inversés en 1e et 3e sur 4) : D=AmBn-BmAn=1000*A+10*B-(1000*B+10*A)=990A-990B=990*(A-B)
Donc D multiple de 990, donc de 99, donc de 9.
6/ Cas de base trois ou seize, etc. En base trois, trois s’écrivant 10, l’écriture AB désigne (3*A)+B, donc AB-BA=(3*A)+B-[(3*B)+A]=2*(A-B), on obtiendrait un nombre pair, qui est 2 dans cette base (0 étant réservé pour le cas A=B).
En base seize, seize s’écrivant 10 et dix s’écrivant § ou autre, l’écriture AB désigne (seize*A)+B, donc AB-BA=(seize*A)+B-[(seize*B)+A]=quinze*(A-B), donc inverser deux chiffres ferait une différence dont la somme des chiffres vaut quinze.
Bilan :
Si un nombre AB (ou AmnB etc.) a été compté comme BA (ou BmnA etc.) cela ajoute (ou retranche) une erreur dont la somme des chiffres fait 9 (en base dix, car ce serait 2 en base 3, quinze en base seize, etc.), c’est démontré, youpi !
