Ai-je cassé l’infini ?
Remise en cause post-scolaire
par Tizan Des Corateurs, 04-06/04/2017

  J’ai lu dans un livre (j’ai oublié le titre) que le célèbre Gödel n’avait pas montré l’incomplétude des Mathématiques en général, seulement de leur version avec infini. Et le théorême de Gödel est réputé très compliqué, un véritable monument de complexité, admirable. Or je démolis peut-être très simplement l’infini, sans mérite je crois :
  Pour tout nombre entier positif, il y a un nombre pair qui est son double (et vice versa), on appelait ça bijection à l’école (merci à M.Brunet de me l’avoir rappelé), il y a donc autant d’entiers que d’entiers pairs. Et pourtant, en un sens, il y a deux fois plus d’entiers que d’entiers pairs, c’est une contradiction, donc la notion d’infini n’est pas cohérente.
  On peut l’illustrer par le ratio Nombres pairs (positifs) « jusqu’ici (dans l’ordre croissant) » sur Nombre d’entiers (positifs). Ce nombre tend vers 0,5 très rapidement et atteint 0,5 à l’infini (quand le poids du 1 ajouté compte pour 1/infini soit zéro). Cela ne tend absolument pas vers 1, donc il est totalement faux de dire qu’il y a autant d’entiers que d’entiers pairs (« l’infini »). Or il n’y a pas le moindre entier qui ne soit associé à aucun pair (puisque son double est pair). Ça coince, je crois que c’est une réfutation directe de la notion d’infini.


Ajout 08/04/2017 : il y a un raccourci géométrique vers la même évidence, dont j'ai entendu parler je ne sais plu' où. Une demi-droite s'étendant à l'infini vers la droite compte un nombre infini de points, mais c'est la moitié de la droite correspondante qui s'étend, en plus, à l'infini vers la gauche. Or par principe, rien n'est plus grand que l'infini, il ne peut donc pas y avoir de "petit infini" par rapport à un "grand infini". Tout ça semble du bla-bla creux sans rigueur mathématique (et quand on nous clame "prouvé" que l'Univers matériel a des dimensions infinies, on peut être dubitatif).
  Au passage, le schéma ci-dessus pour pairs/entiers ressemble, géométriquement, à un cas avec des chaînes infinies de maillons : en augmentant progressivement la distance au centre, nombre de maillons sur la demi-chaîne à droite/nombre de maillons sur la chaîne complète (1/1 initial puis tendant rapidement vers 0,5, et "0,5 pile" à l'infini).