Longueur de scotch restante ?
Mathématique amusante
par Tistik Mateu, 19/04/2016
  Etant technicien chromatographiste dans les années 1980, j’étais confronté à un problème pratique : comment savoir si les rouleaux de papier thermique (disponibles, entamés) seraient suffisants pour imprimer les analyses automatiques de la nuit (c’était au temps « préhistorique » avant l’ère des disques durs stockant tout partout pour impression différée éventuelle). Je connaissais la longueur garantie du rouleau de papier neuf, je pouvais mesurer le diamètre de rouleaux neuf et vide, restait à trouver la formule donnant la longueur restante sur rouleau entamé en fonction de son diamètre.
  J’ai trouvé à l’époque, par le raisonnement que la formule était Lr = Lmax × (Dr²-Do²)/(Dmax²-Do²), mais je n’ai pas conservé (sous la main, pour des décennies) mes calculs démonstratifs, je me souviens seulement que la parabole venait d’une intégrale, comme kx a pour primitive (k/2).x²+constante, vu au lycée à l’époque.
  Aujourd’hui, je regarde sur Internet ce que je trouve, pour voir si c’est un truc célèbre bien connu maintenant (et/ou quelque part) et Google pour « calculer la longueur d'un rouleau en fonction du diamètre » trouve plutôt L=(Pi*((D/2)²-(d/2)²))/e avec e épaisseur du papier. Mais mesurer l’épaisseur du papier, quasi négligeable, requérait un micro-instrument de mesure que je n’avais pas (idem pour un rouleau de bande autocollante : la couche de colle intervient-elle et comment ?). Donc mon approche garde un intérêt je pense.
  Je vais donc réinventer trente ans après ce que j’avais trouvé (ou l’invalider peut-être, je me souviens simplement que j’avais simplifié la transition au changement de tour).

  La formule de base est clairement que un tour a pour longueur 2 fois pi fois le rayon, donc pi fois le diamètre, ce qui est petit au centre et grand à l’extérieur, avec variation en continu. Avec les notations d,D,di,li,L pour diamètre minimum, diamètre maximum, diamètre actuel, longueur restante, longueur totale, on cherche li en fonction de di, avec les constantes connues d,D,L. (Et en première approximation, je considérais qu’il y a comme des cercles parfaits concentriques, sans dire que le cercle est déformé pour incorporer en fin de tracé l’accroissement de rayon lié à une épaisseur de plus ; on pourrait aussi dire que c’est un cercle parfait suivi d’un très court segment radian long d’une épaisseur, mais en fait, il n’y a pas stop et redémarrage à angle droit, plutôt une forme de diagonale, d’impact fonction de l’épaisseur et du diamètre…). Pour base :
  li = somme (de d à di) de pi.di = primitive de pi.di en di - primitive de pi.di en d
= (pi/2).di² + constante - [(pi/2).d² + constante] = (pi/2).(di²-d²)
  C’est une parabole = (pi/2).di² + [-(pi/2).d²], mais rien ne garantit que di=D donnera li=L, cela peut être faux, selon l’épaisseur ou le serrage du rouleau. L théorique = (pi/2).(D²-d²).
  Pour avoir L vrai pour D (et 0 pour d), il faut donc :
li = L.(di²-d²)/(D²-d²) = parabole [L/(D²-d²)].di²+[-d²/(D²-d²)]
soit pour d: l=L.0/(D²-d²)=0, et pour D: L=L.(D²-d²)/(D²-d²)=L
  C’est bien, avec de nouvelles notations, ma formule de l’époque. Avec tableur moderne, on peut l’illustrer par un graphique : (par exemple avec L=50m, d=0,02m, D=0,05m) :
  C’est amusant et utile, plus chouette que les équations brutes des cours de Maths de l’époque. Avec les lois Jospin voulant 80% de chaque classe d’âge reçu au Bac, il parait que le niveau s’est écroulé, mais je doute que le rébarbatif peu utile se soit transformé en plaisant très utile.