La soupe « qui déborde sans chauffer » et la distance à « vol de métro »
par Nahifcal Kulateur, 10/08/2022

   Le contexte est que je viens d’écrire sur un site à moi que « les mathématiques, c’est en un sens des devinettes rigolotes plaisantes », pas forcément abstraites mais tangibles parfois. Je vais essayer de l’illustrer, sans prétentions grandioses, mais pour jouer un peu.
   Le sujet ici abordé est que, régulièrement à la télévision, on entend des « journalistes experts en sciences » se moquer que tant de % de Français croient que la Terre est plate, sous-entendu : « les incroyables stupides, alors que l’école (L’Élite) leur a enseigné La Vérité !!! ». Euh, je suis plutôt sceptique et je n’approuve pas ce rire gras, cette contestable élite prétendue, mais je me pose la question : de quel ordre de grandeur s’agirait-il pour les effets quotidiens de tout le monde (sans faire le tour de la prétendue planète) ?
   Question numéro 1 : une casserole de 30 centimètres de diamètre est remplie à ras de soupe, en fait « on croit que » c’est parfaitement horizontal plat, mais « les scientifiques » affirment que c’est une courbe pas plate du tout. Sur combien de millimètres en hauteur se joue la différence ? ou micromètres, ou nanomètres etc. Est-ce que la soupe risque de déborder ? si on ne prend pas une marge de sécurité suffisante. Ça fera un dialogue cocasse :
– Oh, zut, pourquoi tu as fait déborder la soupe ?
– Parce que la Terre est ronde !

   Question numéro 2 : au cas où ce soit très infime à l’échelle de trente centimètres, envisageons mille kilomètres… Autrement dit, pour aller de Lille à Perpignan (environ), taille de la France entière, aller droit mais en suivant la courbe du globe terrestre (hors relief à bosses et creux) fait à peu près 1000km, mais la distance donnée par la carte revient à couper tout droit en creusant le sol (ou en empruntant un métro allant tout droit au sens géométrique absolu sans se soucier de la rotondité terrestre), quelle est la différence entre les deux longueurs ? (à vélo suiviste ou à métro perforateur). Ou en sens inverse, pour se ramener au cas de la soupe, à quelle profondeur s’enfoncera ce métro à mi-chemin ? en mètres ou centimètres ou moins.
   Réponse n°1, la soupe ± imaginaire
   Tout d’abord, est-ce que c’est un risque de débordement ou le contraire ? Il semble que c’est le contraire : le surface de la soupe suivrait la surface terrestre arrondie, donc ce serait le centre qui serait surélevé par rapport aux bords, le contraire d’un passage par-dessus bord aux extrémités. Quoique… il y a le phénomène physico-chimique de tension de surface, qui fait que les liquides, à leur interaction avec air et solide donnent un ménisque oblique et pas quelque chose à angle droit ou nul. Le mercure liquide donne un ménisque convexe, bombé, et l’eau donne un ménisque concave, en creux, cela pourrait être bien plus important que l’effet rotondité de la Terre, et en sens inverse donc – sauf si vous consommez une soupe au mercure (certes pas tous les jours mais une fois, car c’est un peu mortel, dit-on).
   Mais bref, peu importe pour le débordement pratique, quel est l’impact en hauteur de soupe de la partie « rotondité de la Terre » ? En première approximation, nous dit-on (je n’en sais rien, moi, mais admettons pour voir), la Terre a un rayon R constant partout de 6.371km (circonférence de la Terre 40.075 km), tandis que notre casserole a un rayon r dans toutes les directions de 15cm, mesuré à la règle plate sans arrondi terrestre.

   L’angle b est égal à l’angle a puisque concernant des directions orthogonales des deux côtés, et la trigonométrie se définit comme tg b = opposé/adjacent = h/r donc h = r* tg b = r * tg a. Et a se détermine comme sin a = opposé/hypoténuse = r/R. Donc h = r * tg (arcsin [r/R]), qui ne dépend effectivement que de r et R.
   Quand R = 6.371.000m et r = 0,15m, h = 3nm oui 3 nanomètres, inobservable avec microscope optique normal ! (besoin d’un microscopique "électronique" grand comme une armoire, pas intuitif et qui prétend avoir vu telle chose). Pas étonnant qu’on ne croit pas à la rotondité de la Terre, au quotidien, la soupe est vraiment à-peine à-peine bombée ! Et… c’est les maths qui apportent la réponse, les maths c’est bien, pourquoi tant d’élèves exècrent ça ?
   Réponse n°2, le métro ± imaginaire
   Quand R = 6.371km et r = 500km, h = 39km oui 39 kilomètres sous la surface, infiniment plus profond que tous les métros vrais du Monde… Oui, ce n’est pas du tout négligeable à cette échelle, même sans parler de continent entier.
   Et, au fait, quelle est la distance parcourue sur le globe quand le métro imaginaire fait 500km comme sur la carte « à vol de métro » ? C’est la circonférence de la Terre T divisée par 360° multiplié par l’angle a, et a = arcsin(r/R) ou en radians comme calcule Excel : d = [T / (2*π)] * arcsin(r/R).
   Avec T = 40.075km, R = 6.371km, r = 500km, d = 501,1km oui à peine 1,1km de plus que les 500 km montrés par la carte soit 0,2% effectivement négligeable pour la vie courante, pouvant s’accommoder de l’hypothèse « Terre plate » (de l’Antiquité et Moyen-Age parait-il, et puisqu’au nom de la tradition on nous enquiquine avec l’orthographe française, pourquoi ne pas continuer à dire que la Terre est plate ?).
   A ce sujet, je me souviens d’un mot génial inventé par Jean Tabary dans la bande dessinée Iznogoud (Is No Good, n’est pas bon, le méchant vizir régnant à Bagdad, affirmant :) « Tout le monde le sait, "la Terre est ronde" : c’est un cercle parfait, et parfaitement plat, dont Bagdad est le centre parfait ! CQFD : mon Bagdad est le Centre-du-Monde ! »…