Trigo- « pop » (pas musicale mais façon champagne)
Réponse illustrée à : Pff, la trigo’ mais à quoi ça sert ?!
par Tof en week-end, 15/10/2016

    L’autre jour à mon travail (technicien de labo), j’ai rencontré un problème pratique, et j’ai commencé à poser les équations pour le résoudre, mais je n’ai pas le temps, à mon boulot (essentiellement manuel), alors j’ai laissé tomber, même si c’était amusant, plaisant. Indépendamment de cela, ma collègue Valérie disait au repas que son fils de 14 ans souffrait à l’école, avec de la trigonométrie « qui ne sert à rien de rien »… alors, à la maison en week-end, je vais lui montrer que si, ces maths c’est très utile, et c’est rigolo en plus…

Le problème rencontré
1/ Mes collègues préparent pour moi des liquides à purifier, et comme je les purifie 48 par 48, elles les stockent congelés en attendant ; pour cela, les liquides sont mis dans des petits tubes (plastiques) cylindriques, en position verticale dans des boîtes à cases environ carrées. Mais parfois, le bouchon du tube « explose » (doucement, sans tuer personne). En effet, si elles remplissent un peu trop le tube de liquide, elles croient « bien le fermer », mais quand ça va se congeler, la glace va gonfler (puisque la densité de la glace est plus petite que celle de l’eau, c’est pour ça que la glace flotte, dans l’apéritif – ou la mer hélas pour le Titanic…), et donc ça va faire sauter le bouchon (« pop ! »), point faible du tube – et le liquide gelé risque de se contaminer, et alors on me dira peut-être que c’est de ma faute si le résultat final est raté à la manipulation d’après. Il me faut donc résoudre le problème. J’ai demandé de remplir le tube de 2ml à 1,5ml maximum, en marquant un tableau de correspondance des volumes en eau et en glace (Internet me disait pour la glace 0,91g/ml, et l’eau fait à peu près 1g/ml, donc 1,50ml eau --> 1,65ml glace ; 1,80ml eau --> 1,98ml glace).
2/ Mais j’ai parfois encore des tubes qui explosent, et – en les regardant de plus près – je me suis aperçu que la surface de la glace n’était pas horizontale mais penchée, faisant sauter le bouchon du côté où elle est la plus haute. La question est donc : puisque le tube n’est pas parfaitement vertical dans sa case, quel supplément de hauteur liquide en résulte-t-il ? Mystère ? Ben non, c’est juste géométrique, c’est rigolo comme une devinette, allez, essayons de jouer à trouver la réponse…

La solution inventée
[Je nomme A la largeur de la case, B sa largeur, C la diagonale (c’est la longue diagonale qui donnera la plus grande inclinaison possible), D sa hauteur, E le diamètre du tube, F l’angle d’inclinaison maximal du tube, G la hauteur supplémentaire de liquide à cause de l’angle F. Puisqu’on peut mesurer A, B, D, E on peut calculer C et G, il faut juste trouver les équations qui interviennent. Pour ça, il suffit au départ de quelques théorèmes : C²=A²+B² de Pythagore (rigolo à redémontrer, mais ce n’est pas le sujet ici) et puis les trigonométriques tg F = opposé/adjacent, cos F = adjacent/hypoténuse.]
Allons-y, let’s go, yeah…
  
Pour calculer G à partir de l’angle F, c’est facile : tg F = G/ (E/2) = 2*G/E --> G = (tg F)*E/2
Mais pour calculer F, pas facile… C se compose de C’ à gauche libre et C’’ à droite sous le tube.
Avec C=C’+C’’, tg F = C’/D et cos F = C’’/E soit C = (D*tg F) + (E*cos F)
On a bien 1 équation à 1 inconnue, mais la tangente et le cosinus embrouillent tout. Heureusement, on peut appliquer le principe sin²F+cos²F=1 et tgF=sinF/cosF.
On en tire : C = (D*sinF/cosF)+(E*cosF) = (D*sinF/[1-sin²F])+(E*[1-sin²F]) Et c’est gagné, yeah, bravo, clap-clap !
Pour calculer en vrai, il faut développer bien sûr.
Si on pose x =sinF, ça donne C = (D*x/[1-x²])+(E*[1-x²])
Et on en tire C – E + E*x² = D*x/[1-x²], d’où C – E + E*x² - C*x² + E*x² - E*x^4 = D*x.
Et donc –E*x^4 + (2E-C)*x² - D*x + C – E = 0
Ouille, comment on résout ça ?!
C’est pas grave, en tâtonnant, on trouve !

Exemple : A = 1,00cm ; B = 0,90cm ; D = 2,00cm ; E = 0,50cm
On a vu que G = (tgF)*E/2, avec C= racine(A²+B²) et F = arcsin x tel que –E*x^4 + (2E-C)*x² - D*x + C – E = 0
Tâtonnant avec un tableur on trouve x=0,3906 (0,3905 trop bas, et 0,3907 trop haut), donc F = 23° et G = 0,106cm.

On a tiré G de ABDE : Victoire !
C’est super-rigolo, non ? (et puis utile pour le boulot, en plus, comme une cerise sur la gâteau).

Réserve : En vrai, cette étape trigonométrique n'est qu'une première approximation, parce qu'en 3 dimensions, le tube ne va pas se coincer au fond de la diagonale (vue de dessus), il faudrait calculer l'équation du cercle inscrit dans la case, mais ça n'est pas du niveau de 14 ans. Ici, c'était simplement un aperçu pour jouer, et un ordre de grandeur.